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プレミアムの算定(二項過程モデル、ヘッジレシオ、プット・コール・パリティ) その2

プレミアムの算定(二項過程モデル、ヘッジレシオ、プット・コール・パリティ) その2

【ヘッジレシオ】
今回オプションを1単位取引するのに、売り手(Cさん)は0.5株の株の購入が必要ということがわかりました。

 

そしてこれはヘッジレシオと呼ばれ、以下の計算式で計算することができます。

 

 

ヘッジレシオ = オプションを行使する場合としない場合の価格差÷満期日に想定している株価の価格差

 

 

今回の場合は権利を行使した場合は100円買い手に利益が発生し(売り手は100円の損失)、行使しなければ買い手の利益(売り手の損失)は発生しません。

 

よって権利を行使する場合としない場合の差は、100円です。

 

また、満期日に想定している株価の価格差は、300−100 = 200円です。

 

よってヘッジレシオは以下のようになります。

 

 

ヘッジレシオ = 100÷200 = 0.5

 

 

【二項過程モデル(プットオプション)】
では次に、コールオプションで使用したものと同じ数値を使ってプットオプションのプレミアムを計算してみましょう。

 

Aさんが行使価格200円でCさんからプットオプションを買うという場合のプレミアムです。

 

コールオプションのときと同じく、プレミアムがx円、Cさんが銀行から借り入れる金額がy円、購入する株式の株数がz株とすると、Cさんが運用する金額は以下のようになります。

 

なお、ここでもCさんの利益を0として考えています。

 

 

x+y−200z = 0  ・・・ (1)

 

 

≪株価が300円に上昇した場合≫
では権利行使日に株価が300円に上昇した場合を考えてみましょう。

 

この場合、Aさんは権利を行使しませんので、Cさんは上昇した株式の代金を銀行の返済資金に割り当てます。

 

 

300z = 1.02y   ・・・ (2)

 

 

≪株価が 100円に下落した場合≫
では権利行使日に株価が100円に下落した場合を考えてみましょう。

 

この場合、Aさんは当然権利を行使しますので、Cさんにはそれに応じる義務があります。

 

ここで、Cさんは、100円に下落した株式を売却し、200円でAさんから購入します。

 

そして借り入れた金額に2%の金利をのせて銀行に返済します。

 

このときの株式の購入と銀行への返済資金は、下落した株式を買い戻した利益を割り当てます。

 

すると、この場合の計算式は以下のようになります。

 

 

100z+100−200−1.02y = 0   ・・・ (3)

 

 

≪プレミアムを計算する≫
最後にCさんが損をしないようなプレミアムを計算しましょう。

 

まずは(2)と(3)から、zとyの値を計算します。

 

 

(3)から、

 

1.02y = 100z−100

 

これを(2)に代入します。

 

300z = 100z−100

 

200z = −100

 

z = −0.5

 

 

これでyの値も計算できます。

 

1.02y = 300×−0.5 = −150

 

y ≒ −147.06

 

 

ではxとyの値を(1)の式に代入してx(プレミアム)を求めてみましょう。

 

x+y−200z = 0  

 

x−147.06−200×(−0.5) = 0

 

x−147.06+100 = 0

 

x = 47.06

 

プレミアムは47.06円です。

 

 

Aさんは200円の株式に47.06円のプレミアムをつけ、247.06円支払えば、この株式のプットオプションを買えるということです。

 

ここで、zとyがマイナスになっていることから、Cさんは取引時に株式を0.5株(100円)売却し、プレミアムを合わせた資金(147.06円)を銀行に預け入れをしていることがわかります。

 

ただし、実際には保有していない株式を売却することはできませんので、上記はあくまでも理論上の数値です。

 

なお、株式の場合は空売りという信用取引で保有していない株式を売ることができますが、それで資金を得られるというわけではありません。
(信用取引の詳しい説明はここでは省略します。)

 

また、今回も一応ヘッジレシオを確認しておきましょう。

 

ヘッジレシオ = (0−100)÷(300−100) = −0.5

 

ヘッジレシオは−0.5で、上記のzと一致しています。

 

 

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